Matriz aumentada

En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.

Sean las matrices $A$ y $B$, donde

$A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}}$

Entonces la matriz aumentada $(A|B)$ se representa de la siguiente manera:

$(A|B)={\begin{bmatrix}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{bmatrix}}$

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.

Ejemplos

Sea $C$ una matriz cuadrada de dimensiones 2x2 donde $C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}$

Para encontrar la inversa de $C$, se crea $(C|I)$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensiones 2x2. A continuación se transforma en la matriz identidad la parte de $(C|I)$ correspondiente a $C$, usando únicamente transformaciones de matriz elementales en $(C|I)$.

$(C|I)={\begin{bmatrix}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{bmatrix}}$

$(I|C^{-1})={\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{bmatrix}}$

En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. Dado el conjunto de ecuaciones:

${\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0\\3x_{1}+4x_{2}+7x_{3}=2\\6x_{1}+5x_{2}+9x_{3}=11\end{cases}}$

la matriz aumentada estaría formada por:

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}}$

y

$B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}}$

dando como resultado final:

$C={\begin{bmatrix}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{bmatrix}}$

• Datos: Q2750301